حد ديديكايند

حد ديديكايند أو تقسيم ديديكايند لمجموعة مرتبة كليا S هو زوج (A,B) من أجزاء S حيث : {A,B} تكون تجزئة ل S وكل عنصر من A أصغر (قطعا) من كل عنصر من B.

يوحي هذا التعريف بوجود "حد" يفصل بين A و B مما يفسر الاصطلاح. واستعمل هذا المفهوم أولا من طرف ريتشارد ديدكايند كطريقة لإنشاء الأعداد الحقيقية غير الجذرية. سمي هكذا نسبة لعالم الرياضيات الألماني ريتشارد ديدكايند.

التعريف

لتكن S مجموعة مرتبة كليا، و A و B جزئين من S.$A\subset S$ و$B\subset S$

نقول أن المزدوجة (A,B) حد لديديكايند إذا كان:

1. $A\neq \emptyset ,B\neq \emptyset$
2. $A\cap B=\emptyset$
3. $A\cup B=S$
4. $\forall x\in A,\forall y\in B,x<y$
5. $A$ لا تحتوي على أكبر عنصر.

الخاصيات 1 إلى 3 تفيد بأن {A,B} تجزئة ل S. مما يعني أن تحديد أحد الجزئين A أو B يكفي لتحديد الحد. إلا أننا نحتفظ بالجزئين معا ونرمز للحد بالزوج (A,B).

كما يمكن أن نعوض الخاصية 4 ب:

*A مغلق دنويا: $\forall a\in A,\forall x\in E,(x\leq a\Rightarrow x\in A)$ 
*و B مغلق علويا: $\forall b\in B,\forall y\in E,(y\geq b\Rightarrow y\in B)$.

للحصول على تعريف مكافئ.

مقارنة حدين لديديكايند

لتكن S مجموعة مرتبة كليا. (A,B) و(X,Y) حدين لديديكايند. نعرف علاقة ترتيب> على $D$ مجموعة حدود ديديكايند ل S بما يلي :

$(A,B)<(X,Y)\Leftrightarrow A\subset X$.

نبين أن $(D,<)$ تكون مجموعة مرتبة كليا باستعمال هذا الترتيب. كما أن خاصية الكابر الأصغر محققة على $(D,<)$ (أي أن كل جزء مكبور يقبل كابرا دنويا).

يشكل $D$ امتدادا ل S بمعنى ان كل عنصر x من S يقابله عنصر من $D$ عبر التطبيق التبايني و«التشاكلي» (أي الذي يحافظ على علاقة الترتيب>) :

$x:->(\{a\in S|a<x\},\{b\in S|x\leq b\})$

ملاحظة
الخاصية 5 في التعريف تبين أن $(\{a\in S|a\leq x\},\{b\in S|x<b\})$ ليست حدا لديديكايند.

بذلك نرى أن حدود ديديكايند تمكن من تمديد مجموعة مرتبة كليا إلى مجموعة مرتبة كليا تحقق خاصية الكابر الأصغر.

انظر أيضا

• متتالية كوشي